(3) Travail sur les médianes

Dans un repère orthonormé \(\left(\text O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j} \right)\), on considère les points \(\text A (1;1)\), \(\text B (1;-5)\) et \(\text C (6;4)\) formant ainsi le triangle \(\text{ABC}\). On rappelle que :

• le milieu du segment \([\text{AB}]\) est \(\text D \left( 1;-2 \right)\) ;
• le milieu du segment \([\text{BC}]\) est \(\text E \left( \dfrac{7}{2};-\dfrac{1}{2} \right)\) ;
• le milieu du segment \([\text{AC}]\) est \(\text F \left(\dfrac{7}{2}; \dfrac{5}{2} \right)\).
  

1. Montrer que les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{\text{CD}}\) sont \(\begin{pmatrix} -5\\ -6\\ \end{pmatrix}\).

2. Montrer que les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{\text{AE}}\) sont \(\begin{pmatrix} \dfrac{5}{2}\\ -\dfrac{3}{2}\\ \end{pmatrix}\).

3. Déterminer les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{\text{BF}}\).

4. Déterminer les coordonnées du point \(\text G\) défini par \(\overrightarrow{\text{CG}} = \dfrac{2}{3} \times \overrightarrow{\text{CD}}\).

5. Vérifier que le point \(\text G\) vérifie également \(\overrightarrow{\text{AG}} = \dfrac{2}{3} \times \overrightarrow{\text{AE}}\)  et  \(\overrightarrow{\text{BG}} = \dfrac{2}{3} \times \overrightarrow{\text{BF}}\).

Conclusion : le point \(\text G\) est appelé centre de gravité du triangle \(\text {ABC}\).